GEOMETRIA IV

Matematica GEOMETRIA IV

0512300013
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2022/2023

OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
AppelloData
APPELLO GEOMETRIA IV18/01/2023 - 09:00
APPELLO GEOMETRIA IV18/01/2023 - 09:00
Obiettivi
L’INSEGNAMENTO HA L’OBIETTIVO PRIMARIO DI IMPARTIRE LE NOZIONI FONDAMENTALI DI: GEOMETRIA AFFINE DELLE SUPERFICI QUADRICHE; GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE SOTTOVARIETÀ DEGLI SPAZI EUCLIDEI

- CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE:

SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È FORNIRE LE CONOSCENZE DI BASE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE "CLASSICA" (SOTTOVARIETÀ DEGLI SPAZI EUCLIDEI, IN PARTICOLARE CURVE E SUPERFICI IN R^3). LO STUDENTE AVRÀ MODO DI VEDERE COME: 1) LE NOZIONI DI ANALISI E D'ALGEBRA LINEARE APPRESE NEI DUE ANNI PRECEDENTI SI APPLICHINO ALLO STUDIO DELLE PROPRIETÀ INFINITESIMALI DEGLI OGGETTI GEOMETRICI; 2) TALI PROPRIETÀ INFINITESIMALI SI RIFLETTONO NELLE PROPRIETÀ GLOBALI E TOPOLOGICHE (PER ESEMPIO, LE PROPRIETÀ DI MINIMO DELLE GEODETICHE E DELLE SUPERFICI A CURVATURA MEDIA NULLA; IL TEOREMA DI GAUSS-BONNET, ECC.). INOLTRE, A COMPLETAMENTO DI QUANTO VISTO SULLE CONICHE NEL CORSO DI GEOMETRIA 3, SI FORNISCONO ALLO STUDENTE LE NOZIONI DI BASE SULLE QUADRICHE (PROPRIETÀ DI SIMMETRIA, CLASSIFICAZIONE AFFINE ED EUCLIDEA); L'OBIETTIVO MINIMO DA RAGGIUNGERE È L'ESSERE IN GRADO DI RICONOSCERE IL TIPO DI QUADRICA DALLA SUA EQUAZIONE IN UN RIFERIMENTO AFFINE QUALSIASI, DETERMINARNE EVENTUALI CENTRI ED ASSI DI SIMMETRIA, ECC.

- CAPACITA' DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:

SI VUOL METTERE LO STUDENTE IN GRADO DI APPLICARE CONCRETAMENTE LE NOZIONI TEORICHE APPRESE; A TALE SCOPO VERRÀ DATO AMPIO SPAZIO ALLE ESERCITAZIONI (CIRCA 1/3 DEL TOTALE DELLE ORE)
Prerequisiti
I PREREQUISITI UTILI PER SEGUIRE L’INSEGNAMENTO CON PROFITTO SONO LE CONOSCENZE DI BASE DI ALGEBRA LINEARE, GEOMETRIA ANALITICA E CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IMPARTITE NEI CORSI OBBLIGATORI DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA. COMUNQUE, NON È PREVISTA ALCUNA PROPEDEUTICITÀ.
Contenuti
IL CORSO CONSISTE DI UN UNICO MODULO, PER UN TOTALE DI 48 ORE DI DIDATTICA FRONTALE. RIPORTIAMO DI SEGUTO IL PROGRAMMA DETTAGLIATO, CON L'INDICAZIONE DEL NUMERO DI ORE PREVISTE PER CIASCUN ARGOMENTO.

1. QUADRICHE AFFINI. (6 ORE DI LEZIONI + 3 DI ESERCITAZIONI):

QUADRICHE IN UNO SPAZIO AFFINE; CENTRI E PUNTI SINGOLARI DI UNA QUADRICA; IPERPIANI TANGENTI; PUNTI IPERBOLICI, ELLITTICI, PARABOLICI DI UNA QUADRICA REALE. CLASSIFICAZIONE AFFINE ED EQUAZIONI CANONICHE DELLE QUADRICHE; AZIONE DEL GRUPPO AFFINE SU UNA QUADRICA. QUADRICHE NEGLI SPAZI EUCLIDEI; ASSI E PIANI DI SIMMETRIA, INVARIANTI EUCLIDEI; CLASSIFICAZIONE EUCLIDEA ED EQUAZIONI CANONICHE. AMPLIAMENTO PROIETTIVO DI UNA QUADRICA AFFINE. POLARITÀ ASSOCIATA A UNA QUADRICA NON DEGENERE.

2. GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE. (8 ORE DI LEZIONI + 4 DI ESERCITAZIONI):

CURVE DIFFERENZIABILI IN R^N; LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA E ASCISSA CURVILINEA. SPAZI OSCULATORI, N-EDRO DI FRENET, EQUAZIONI DI FRENET; RICOSTRUIBILITÀ DI UNA CURVA A PARTIRE DALLE SUE CURVATURE. CURVE IN R^2 ED R^3: FORMULE DI FRENET CON PARAMETRO GENERICO; INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI CURVATURA E TORSIONE; CENTRO E RAGGIO DI CURVATURA; EVOLUTA ED EVOLVENTE. GRUPPI A UN PARAMETRO DI TRASFORMAZIONI LINEARI, ESPONENZIALE DI UNA MATRICE; CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI.

3. CENNI DI CALCOLO DIFFERENZIALE SULLE SOTTOVARIETÀ. (4 ORE DI LEZIONI + 2 DI ESERCITAZIONI):

TEOREMI DI INVERTIBILITÀ LOCALE, DELLA FUNZIONE IMPLICITA E DEL RANGO; SOTTOVARIETÀ DIFFERENZIABILI DI R^N. CAMPI VETTORIALI SU UNA VARIETÀ E LORO FLUSSI; DERIVATA DI LIE. CENNI SULLE FORME DIFFERENZIALI.


4. GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE SUPERFICI. (14 ORE DI LEZIONI + 7 DI ESERCITAZIONI):

PRIMA FORMA FONDAMENTALE E GEOMETRIA INTRINSECA DI UNA SUPERFICIE. DERIVATA COVARIANTE. OPERATORE DI FORMA E SECONDA FORMA FONDAMENTALE; CURVATURE NORMALI, CURVATURE E DIREZIONI PRINCIPALI, CURVATURA TOTALE E CURVATURA MEDIA; PUNTI IPERBOLICI, ELLITTICI E PARABOLICI; SUPERFICI RIGATE E SVILUPPABILI; SUPERFICI DI ROTAZIONE. THEOREMA EGREGIUM. TRASPORTO PARALLELO; CURVATURA GEODETICA; CURVE GEODETICHE E LORO PROPRIETÀ DI MINIMO. OPERATORI DIFFERENZIALI SULLE SOTTOVARIETÀ (GRADIENTE, DIVERGENZA, LAPLACIANO). TEOREMA DI GAUSS-BONNET.
Metodi Didattici
IL CORSO SI ARTICOLA IN LEZIONI FRONTALI (32 ORE) ED ESERCITAZIONI (16 ORE). LE LEZIONI FRONTALI CONSENTIRANNO ALLO STUDENTE DI ACQUISIRE LE NOZIONI TEORICHE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E DI GEOMETRIA DELLE QUADRICHE ELENCATE NELLA SEZIONE "CONTENUTI DEL CORSO". LE ESERCITAZIONI MOSTRERANNO ALLO STUDENTE COME LE NOZIONI TEORICHE APPRESE SI APPLICHINO AD ESEMPI CONCRETI; INOLTRE, LA DIMOSTRAZIONE DI ALCUNI TEOREMI VERRÀ PROPOSTA SOTTO FORMA DI SERIE DI ESERCIZI, LA CUI RISOLUZIONE PORTERÀ GRADUALMENTE LO STUDENTE AL RISULTATO TEORICO FINALE. PARTE DEGLI ESERCIZI VERRÀ SVOLTA DAL DOCENTE IN AULA, MENTRE ALTRI SARANNO PROPOSTI COME HOMEWORK, IN MODO CHE LO STUDENTE POSSA SVILUPPARE LA PROPRIA CAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI IN MANIERA AUTONOMA.
Verifica dell'apprendimento
L'ESAME CONSISTE IN UNA PROVA ORALE, DELLA DURATA DI CIRCA 45 MINUTI. LO STUDENTE DOVRÀ RISPONDERE A DUE DOMANDE DI TEORIA E DISCUTERE UNO DEGLI ESERCIZI SVOLTI IN AULA O ASSEGNATI COME HOMEWORK; I DUE QUESITI TEORICI E L'ESERCIZIO DA DISCUTERE CORRISPONDONO ALLE TRE PARTI PRINCIPALI DEL PROGRAMMA (QUADRICHE AFFINI, GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE, GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE SUPERFICI): IL VOTO FINALE SI OTTERRÀ DA UNA COMBINAZIONE PESATA DELLE RISPOSTE AI TRE QUESITI, CON I PESI APPROSSIMATIVAMENTE PROPORZIONALI ALL'AMPIEZZA DELLA CORRISPONDENTE PARTE DEL PROGRAMMA.
Testi
TESTI DI RIFERIMENTO:

- F.PUGLIESE: APPUNTI ED ESERCIZI SVOLTI SU ARGOMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E TEORIA DELLE QUADRICHE (REPERIBILI AL LINK HTTPS://DOCENTI.UNISA.IT/004411/RISORSE)

- E. SERNESI, GEOMETRIA 2, BOLLATI BORINGHIERI, 1989, CAP. VI

- E. VINBERG, A COURSE IN ALGEBRA, AMS 2003, CAP VII

TESTI DI CONSULTAZIONE E APPROFONDIMENTO:

- M. ABATE, F. TOVENA, CURVE E SUPERFICI, SPRINGER 2006

- M. DO CARMO: DIFFERENTIAL GEOMETRY OF CURVES AND SURFACES, SECOND EDITION (DOVER 2016)

- M. SPIVAK: CALCULUS ON MANIFOLDS (CRC PRESS REPRINT, 2018)
Altre Informazioni
EMAIL: fpuglies@unisa.it
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2022-11-30]