TOPOLOGIA

Matematica TOPOLOGIA

0512300036
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2022/2023

ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2018
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
Obiettivi
OBIETTIVI
L’INSEGNAMENTO ” TOPOLOGIA” INTENDE INTRODURRE LA TOPOLOGIA ALGEBRICA DI BASE ED AMPLIARE ALCUNI ARGOMENTI DI TOPOLOGIA GENERALE. LA TOPOLOGIA ALGEBRICA, CHE STUDIA GLI SPAZI TOPOLOGICI UTILIZZANDO INVARIANTI ALGEBRICI, RAPPRESENTA UNA DELLE PIU’ IMPORTANTI DISCIPLINE IN CUI SI INTRECCIANO DIVERSI CAMPI DELLA MATEMATICA, E INSIEME ALLA TOPOLOGIA GENERALE, CONTRIBUISCE A RINFORZARE GLI STRUMENTI DI BASE PER IL LAVORO DI UN BRAVO MATEMATICO. ED E’ PROPRIO QUESTO L’OBIETTIVO PRIMARIO DEL CORSO.

-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
LO SCOPO PRINCIPALE DELLA PRIMA PARTE DEL CORSO È QUELLO DI FAR ACQUISIRE ALCUNE PROPRIETÀ DI SPAZI TOPOLOGICI E MAPPE TRA ESSI ASSOCIANDO INVARIANTI ALGEBRICI A CIASCUNO SPAZIO. L’OBIETTIVO E’ QUELLO DI DETERMINARE INVARIANTI ALGEBRICI CHE PERMETTONO DI CLASSIFICARE SPAZI TOPOLOGICI A MENO DI OMEOMORFISMI. CIÒ PUÒ ESSERE FATTO MEDIANTE IL GRUPPO FONDAMENTALE O MEDIANTE I GRUPPI DI OMOLOGIA E COOMOLOGIA.

LA SECONDA PARTE DEL CORSO RIGUARDA LO STUDIO DI PROPRIETA’ TOPOLOGICHE INIZIATO CON LE PROPRIETA’ DI SEPARAZIONE, DI NUMERABILITA’ DI COMPATTEZZA E DI CONNESSIONE. SI INTRODUCONO LE PROPRIETA’ LOCALI DI COMPATTEZZA E DI CONNESSIONE, IL PROBLEMA DI COMPATTIFICARE UNO SPAZIO, E COSÌ VIA.

ALLA FINE DEL CORSO, GLI STUDENTI DOVRANNO AVER ACQUISITO LE SEGUENTI CONOSCENZE.
•CONOSCERE I CONCETTI FONDAMENTALI DI TOPOLOGIA GENERALE E DI TOPOLOGIA ALGEBRICA.
•SPIEGARE CHIARAMENTE TALI CONCETTI E SAPERLI OPPORTUNAMENTE APPLICARE.
•SAPER UTILIZZARE OPPORTUNAMENTE OGGETTI ALGEBRICI CHE SONO INVARIANTI TOPOLOGICI


-CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
DURANTE IL CORSO SARANNO PROPOSTI PROBLEMI SUI QUALI RIFLETTERE E DELINEATI APPROCCI MATEMATICI AL FINE DI MIGLIORARE LE ABILITA’ E LE CAPACITA’ DI INVENZIONE E DIMOSTRAZIONE. ALLA FINE DEL CORSO, GLI STUDENTI DOVRANNO AVER ACQUISITO LE SEGUENTI CAPACITÀ:
•SAPER ANALIZZARE PROBLEMI, SPIEGARE CONCETTI E DIMOSTRARE PROPOSIZIONI DI TOPOLOGIA
•SAPER DIMOSTRARE UN USO EFFICIENTE DELLE TECNICHE TOPOLOGICHE PROPOSTE, APPLICANDOLE NELLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI ED ESERCIZI, UTILIZZANDOLE, IN ALTRE PAROLE, NEL PROBLEM-SOLVING.

Prerequisiti
ANALISI MATEMATICA, ALGEBRA E GEOMETRIA DI BASE.
TOPOLOGIA GENERALE DI BASE (PARTE DEL CORSO GEOMETRIA III).
Contenuti
TOPOLOGIA GENERALE:
1.RICHIAMI DI TOPOLOGIA GENERALE
2.LOCALE COMPATTEZA, LOCALE CONNESSIONE, LOCALE CONNESSIONE PER CAMMINI.
3.COMPATTIFICAZIONI.
4.PROPRIETA' DI SEPARAZIONE FORTI
5. TEOREMI DI METRIZZAZIONE.
6.LA CARATTERISTICA DI EULERO POINCARE’. LA CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI CONNESSE E COMPATTE.
TOPOLOGIA ALGEBRICA:
7. GRUPPO FONDAMENTALE E RIVESTIMENTI.
8. OMOTOPIA.
9. IL GRUPPO FONDAMENTALE DELLA CIRCONFERENZA.
10. I GRUPPI FONDAMENTALI DELLA SFERA DEL TORO DEL PIANO PROIETTIVO REALE.
11. LA CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI IN TOPOLOGIA ALGEBRICA.

Metodi Didattici
LA METODOLOGIA DIDATTICA CHE SI INTENDE METTERE IN ATTO PER L'INSEGNAMENTO SI BASA SU LEZIONI FRONTALI, DISCUSSIONI E PRODUZIONE DI LAVORI INDIVIDUALI O DI GRUPPO SU ARGOMENTI INTIMAMENTE CONNESSI AI CONTENUTI DEL CORSO, CHE HANNO LO SCOPO DI MOSTRARE I VANTAGGI DI USARE LA TOPOLOGIA E GLI STRUMENTI DELL'ALGEBRA ASTRATTA NELLO STUDIO DEGLI SPAZI TOPOLOGICI.
GLI STUDENTI SONO STIMOLATI AD APPREZZARE LA NATURA FORTEMENTE ESEMPLIFICATIVA DI TALI STRUMENTI NELLE DIMOSTRAZIONI DI RISULTATI FONDAMENTALI, QUALI IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA O IL TEOREMA DEL PUNTO FISSO DI BROWER.
I METODI DIDATTICI MIRANO AD INTEGRARE CONOSCENZA, CURIOSITA , AUTONOMIA, COOPERAZIONE, PRODUZIONE. MOLTI PROBLEMI VENGONO PROPOSTI PER MIGLIORARE LE CAPACITA’ APPLICATIVE E DI INVENZIONE NELLA DIMOSTRAZIONE.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA D'ESAME E' FINALIZZATA A VALUTARE LA CONOSCENZA DEGLI ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO, IL LIVELLO DI COMPRENSIONE, LA CAPACITA’ ESPOSITIVA, L’APERTURA ALLA DISCUSSIONE, L’ORIGINALITA’ DELL’ARGOMENTAZIONE, L’ACQUISIZIONE DI AUTONOMIA NEL TRATTARE UN PROBLEMA.
ESSA CONSISTE IN UN COLLOQUIO ORALE, DURANTE IL QUALE IL DOCENTE VERIFICHERA' SE GLI OBIETTIVI FORMATIVI DESCRITTI SONO STATI RAGGIUNTI DALLO STUDENTE, EVENTUALMENTE AFFIANCATO DA UN ELABORATO, DI GRUPPO O INDIVIDUALE, SU UN ARGOMENTO A SCELTA, E/O DA HOMEWORK SU PROBLEMI SIGNIFICATIVI ASSEGNATI PERIODICAMENTE. TALE PROVA, CHE PARTE DA UN'INDAGINE SUGLI ARGOMENTI TEORICI ASSIMILATI E GIUNGE POI AD ESAMINARE LA CAPACITA' DI APPLICARE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN CASI CONCRETI, VIENE VALUTATA CON UN VOTO ESPRESSO IN TRENTESIMI.
LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE CON ORIGINALITA' LE CONOSCENZE E LE COMPETENZE ACQUISITE, CHE SAPPIANO QUINDI RAGIONARE AUTONOMAMENTE, PROPONENDO, AD ESEMPIO, DIMOSTRAZIONI ALTERNATIVE A QUELLE PRESENTATE A LEZIONE.
Testi
[1] V.CHECCUCCI, A.TOGNOLI, E.VESENTINI -"LEZIONI DI TOPOLOGIA GENERALE"- FELTRINELLI

[2] R.ENGELKING -"GENERAL TOPOLOGY"- HELDERMANN VERLAG 1989

[3] A. HATCHER, "ALGEBRAIC TOPOLOGY", CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

[4] C. KOSNIOWSKI -"INTRODUZIONE ALLA TOPOLOGIA ALGEBRICA" - ZANICHELLI.

[5]J. M. LEE- "INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS", SECOND EDITION, SPRINGER


[6] W.S.MASSEY -" ALGEBRAIC TOPOLOGY: AN INTRODUCTION"- SPRINGER-VERLAG 1991.

[7] J..MUNKRES -" TOPOLOGY: "-SECOND EDITION PEARSON 2000.

[8]S. WILLARD -"GENERAL TOPOLOGY"- ADDISON -WESLEY PUBLISHING COMPANY 1970.


Altre Informazioni
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