ALGEBRA I / ALGEBRA II

Matematica ALGEBRA I / ALGEBRA II

0512300038
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2022/2023

OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2018
ANNUALE
CFUOREATTIVITÀ
1ALGEBRA I
432LEZIONE
224ESERCITAZIONE
2ALGEBRA II
432LEZIONE
224ESERCITAZIONE


AppelloData
APPELLO ALGEBRA I / ALGEBRA II19/01/2023 - 09:00
Obiettivi
SCOPO DI QUESTO INSEGNAMENTO È LO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE IN GENERALE, E, IN PARTICOLARE, DI ALCUNE STRUTTURE NOTEVOLI QUALI I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI.

1. CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE:
- CONOSCERE GLI ASPETTI PRINCIPALI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI;
- CONOSCERE I PRINCIPALI ASPETTI DELLA TEORIA GENERALE DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE;
- AVERE UNA CONOSCENZA APPROFONDITA DI PARTICOLARI STRUTTURE ALGEBRICHE: I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI.

2. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
OBIETTIVO DELL'INSEGNAMENTO È DI RENDERE LO STUDENTE CAPACE DI RICONOSCERE E UTILIZZARE STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI GRUPPI, ANELLI E SPAZI VETTORIALI. LO STUDENTE DOVRÀ INOLTRE ESSERE IN GRADO DI DISTINGUERE INSIEMI FINITI ED INFINITI DI DIVERSE CARDINALITÀ.
L'INSEGNAMENTO TENDERÀ A FAVORIRE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI ESPORRE IN MODO CHIARO E RIGOROSO LE CONOSCENZE ACQUISITE.
L'INSEGNAMENTO HA POI LO SCOPO DI ABITUARE LO STUDENTE A FORMULARE PROBLEMI ED A RAGIONARE IN MODO RIGOROSO.
LO STUDENTE DOVRA' ESSERE IN GRADO DI ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI, PROBLEMI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DELL'INSEGNAMENTO STESSO. DOVRÀ ESSER INOLTRE IN GRADO DI RISOLVERE ESERCIZI.
Prerequisiti
CONOSCENZE ACQUISITE NEI CORSI DI SCUOLA SUPERIORE.
Contenuti
MODULO I
TEORIA DEGLI INSIEMI (12 ORE LEZIONE + 5 ORE ESERCITAZIONE). OPERAZIONI SUGLI INSIEMI. INSIEME DELLE PARTI. PRODOTTO CARTESIANO E CORRISPONDENZE. APPLICAZIONI. IMMAGINE E CONTROIMMAGINE. APPLICAZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIETTIVE. APPLICAZIONI COMPOSTE. INVERSA. INVERSA DESTRA E SINISTRA. PRINCIPIO DI INDUZIONE NELLE DUE FORME. DEFINIZIONE PER INDUZIONE.
CALCOLO COMBINATORIO (4 ORE LEZIONE + 2 ORE ESERCITAZIONE). IL PRINCIPIO DI INCLUSIONE/ESCLUSIONE. NUMERO DELLE APPLICAZIONI E DELLE APPLICAZIONI INIETTIVE TRA INSIEMI FINITI. NUMERO DELLE PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO. COEFFICIENTI BINOMIALI. FORMULA DEL BINOMIO.
RELAZIONI BINARIE (13 ORE LEZIONE + 6 ORE ESERCITAZIONE). RELAZIONI DI EQUIVALENZA. PARTIZIONI. CLASSI D’EQUIVALENZA. INSIEME QUOZIENTE. TEOREMA FONDAMENTALE.
CONGRUENZE TRA INTERI. ARITMETICA MODULARE. EQUAZIONI CONGRUENZIALI LINEARI. IL TEOREMA CINESE DEL RESTO. RELAZIONI D’ORDINE. ELEMENTI MINIMALI E MASSIMALI. MINIMO E MASSIMO. MINORANTI E MAGGIORANTI. ESTREMO INFERIORE ED ESTREMO SUPERIORE. DIAGRAMMI DI HASSE. INSIEMI TOTALMENTE ORDINATI. INSIEMI BENE ORDINATI. RETICOLI. INSIEMI INDUTTIVI. LEMMA DI ZORN.
STRUTTURE ALGEBRICHE I (4 ORE LEZIONE + 2 ORE ESERCITAZIONE). LEGGI INTERNE. LEGGI COMMUTATIVE, LEGGI ASSOCIATIVE, PARTI STABILI, OPERAZIONE INDOTTA, ELEMENTO NEUTRO, ELEMENTI SIMMETRIZZABILI. PARTE STABILE GENERATA DA UNA PARTE. TEOREMA DI ASSOCIATIVITÀ (SENZA DIM.). ELEMENTI REGOLARI, TEOREMA FONDAMENTALE.
TEORIA DELLA CARDINALITA' I (3 ORE LEZIONE + 1 ORA ESERCITAZIONE). INSIEMI EQUIPOTENTI. CONFRONTO TRA CARDINALI. TEOREMI DI CANTOR-SCHRODER-BERNSTEIN E DI HARTOGS (SENZA DIM.). TEOREMA DI TRICOTOMIA. TEOREMA DI CANTOR. INSIEMI FINITI ED INFINITI. INSIEMI NUMERABILI. CARDINALITÀ DEGLI INSIEMI DEI NUMERI INTERI E DEI NUMERI RAZIONALI. L'ASSIOMA DELLA SCELTA.
MODULO II
STRUTTURE ALGEBRICHE II (2 ORE LEZIONE + 1 ORA ESERCITAZIONE). CONGRUENZE, OPERAZIONE QUOZIENTE. NOZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA. TEOREMA DI OMOMORFISMO. OPERAZIONI ESTERNE.
TEORIA DELLA CARDINALITA' II (3 ORE LEZIONE + 1 ORA ESERCITAZIONE). TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI INFINITI. LA POTENZA DEL CONTINUO. CARDINALITA' DEGLI INSIEMI DEI REALI E DEI COMPLESSI. IPOTESI (GENERALIZZATA) DEL CONTINUO.
TEORIA DEI GRUPPI (15 ORE LEZIONE + 6 ORE ESERCITAZIONE). DEFINIZIONE DI GRUPPO. SOTTOGRUPPI, CARATTERIZZAZIONI. INTERSEZIONE DI SOTTOGRUPPI, SOTTOGRUPPO GENERATO DA UNA PARTE, SOTTOGRUPPO GENERATO DALL'UNIONE DI UNA FAMIGLIA DI SOTTOGRUPPI. GRUPPI DI ORDINE 6, GRUPPI SIMMETRICI, GRUPPO GENERALE LINEARE. EQUIVALENZE IN UN GRUPPO, INDICE DI UN SOTTOGRUPPO, TEOREMA DI LAGRANGE. SOTTOGRUPPI NORMALI, GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI DI UN GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI E QUOZIENTI DI Z. TEOREMI DI OMOMORFISMO. TEOREMA DI CAYLEY. GRUPPI CICLICI. PERIODO DI UN ELEMENTO.
TEORIA DEGLI ANELLI (10 ORE LEZIONE + 4 ORE ESERCITAZIONE). DEFINIZIONE, REGOLE DI CALCOLO, DIVISORI DELLO ZERO, ELEMENTI INVERTIBILI. DOMINI DI INTEGRITÀ, CORPI, CAMPI. SOTTOANELLI, SOTTOCORPI. ESEMPI. INTERSEZIONE DI SOTTOANELLI, SOTTOANELLO GENERATO DA UNA PARTE. IDEALI, ANELLI UNITARI PRIVI DI IDEALI NON BANALI. IDEALI MASSIMALI. TEOREMA DI KRULL. CONGRUENZE IN UN ANELLO, ANELLO QUOZIENTE, SOTTOANELLI ED IDEALI DI UN ANELLO QUOZIENTE, ANELLO QUOZIENTE RISPETTO AD UN IDEALE MASSIMALE. TEOREMI DI OMOMORFISMO. L’ANELLO DEGLI INTERI. CARATTERISTICA DI UN ANELLO UNITARIO.
TEORIA DEGLI SPAZI VETTORIALI (6 ORE LEZIONE + 4 ORE ESERCITAZIONE). SPAZI VETTORIALI SINISTRI E DESTRI SU UN CORPO. SPAZI VETTORIALI SU CAMPI. REGOLE DI CALCOLO. SOTTOSPAZI. SOTTOSPAZIO GENERATO DA UNA PARTE. COMBINAZIONI LINEARI. DIPENDENZA LINEARE. PARTI LIBERE. BASI. TEOREMA DI ESISTENZA DELLE BASI. DIMENSIONE. SPAZI QUOZIENTE. OMOMORFISMI DI SPAZI VETTORIALI. TEOREMI DI OMOMORFISMO.
Metodi Didattici
IL CORSO PREVEDE 112 ORE DI DIDATTICA IN AULA DIVISE IN DUE MODULI. PER CIASCUN MODULO SONO PREVISTE 32 ORE DI LEZIONE E 24 DI ESERCITAZIONE. LA FREQUENZA NON È OBBLIGATORIA MA FORTEMENTE CONSIGLIATA. LE LEZIONI DI TIPO TEORICO SARANNO ALTERNATE COSTANTEMENTE CON ORE DI ESERCITAZIONE, DURANTE LE QUALI SARANNO PRESENTATI ESEMPI ED ESERCIZI CHE ILLUSTRINO MODALITÀ E CONTESTI DI UTILIZZO DI QUANTO SPIEGATO.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE. LA PROVA D’ESAME SI ARTICOLA PER CIASCUNO DEI DUE MODULI IN UNA PROVA SCRITTA E UN COLLOQUIO ORALE.

LA PRIMA PROVA SCRITTA, CHE POTRA' ANCHE ESSERE SOSTENUTA GIA' AL TERMINE DEL PRIMO MODULO, PREVEDE ESERCIZI SU INSIEMISTICA, CALCOLO COMBINATORIO, CONGRUENZE TRA INTERI E RELAZIONI D'ORDINE. IN CASO DI ESITO SODDISFACENTE DELLA PROVA (CON VOTAZIONE MINIMA DI 18/30) LO STUDENTE SOSTERRA' UN PRIMO COLLOQUIO ORALE MEDIANTE IL QUALE SARANNO VALUTATE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN MERITO AGLI ARGOMENTI TRATTATI NEL PRIMO MODULO.

LA SECONDA PROVA SCRITTA PREVEDE ESERCIZI SU GRUPPI, ANELLI E SPAZI VETTORIALI. IN CASO DI ESITO SODDISFACENTE DELLA PROVA (CON VOTAZIONE MINIMA DI 18/30), LO STUDENTE SOSTERRA' UN SECONDO COLLOQUIO ORALE MEDIANTE IL QUALE SARANNO VALUTATE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN MERITO AGLI ARGOMENTI TRATTATI NEL SECONDO MODULO.

NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LE PROVE SCRITTE E ORALI RELATIVE AI DUE MODULI PESERANNO IN MANIERA PARITARIA. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ "LEZIONI DI ALGEBRA", LIGUORI, NAPOLI, II EDIZIONE, 2014.

M.CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ. "ESERCIZI DI ALGEBRA - UNA RACCOLTA DI PROVE D'ESAME SVOLTE", LIGUORI, NAPOLI, II EDIZIONE, 2011.
Altre Informazioni
ULTERIORI INFORMAZIONI POSSONO ESSERE CONSULTATE SUL SITO WEB DEL DOCENTE DI CIASCUNA CLASSE. Email del docente: cdelizia@unisa.it
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2022-11-30]