OMOLOGIA E COOMOLOGIA

Matematica OMOLOGIA E COOMOLOGIA

0512300047
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2022/2023

ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
Obiettivi
SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI FORNIRE GLI ELEMENTI DI BASE DELLA TEORIA DELL’OMOLOGIA E DELLE SUE APPLICAZIONI, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALLE APPLICAZIONI IN TOPOLOGIA ALGEBRICA.

- CONOSCENZE E COMPRENSIONE: AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE CONOSCERÀ I RUDIMENTI DELLA TEORIA DELL’OMOLOGIA, INCLUSE ALCUNE DELLE SUE NUMEROSE APPLICAZIONI. COMPRENDERA’ IL RUOLO DI QUESTO LINGUAGGIO NELLA MATEMATICA MODERNA E SARA’ IN GRADO AFFRONTARE IN AUTONOMIA LO STUDIO DI ARGOMENTI PIU’ AVANZATI DI ALGEBRA OMOLOGICA E TOPOLOGIA ALGEBRICA, ANCHE NON RICOMPRESI NEL PROGRAMMA DELL’INSEGNAMENTO.


- APPLICAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLA COMPRENSIONE: SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI METTERE IN GRADO LO STUDENTE DI APPLICARE NOZIONI E TECNICHE DELLA OMOLOGIA IN AMBITO SIA GEOMETRICO CHE INTERDISCIPLINARE, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALL’ALGEBRA. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI APPLICARE TECNICHE OMOLOGICHE ALLO STUDIO DEGLI SPAZI TOPOLOGICI TRAMITE L’OMOLOGIA E LA COOMOLOGIA SINGOLARE. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI STUDIARE TRAMITE LE OMOLOGIE ASSOCIATE ALCUNE SEMPLICI STRUTTURE ALGEBRICHE COME I GRUPPI, LE ALGEBRE DI LIE E LE ALGEBRE ASSOCIATIVE.
Prerequisiti
E’ RICHIESTA UNA CONOSCENZA DI BASE DEI CORSI DI GEOMETRIA E ALGEBRA DEL PRIMO BIENNIO DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA, IN PARTICOLARE LE NOZIONI DI SPAZIO VETTORIALE, APPLICAZIONE LINEARE, GRUPPO, GRUPPO ABELIANO, OMOMORFISMO DI GRUPPI, ANELLI, INCLUSE LE LORO PROPRIETA’ DI BASE.
Contenuti
1. ALGEBRA MULTILINEARE

MODULI SU UN ANELLO. APPLICAZIONI LINEARI E TEOREMI DI OMOMORFISMO. MODULI LIBERI. APPLICAZIONI MULTILINEARI. PRODOTTI TENSORIALI. ALGEBRA SIMMETRICA ED ESTERNA.

2. COMPLESSI DI (CO)CATENE

COMPLESSI DI (CO)CATENE. (CO)OMOLOGIA. SEQUENZE ESATTE. MORFISMI DI COMPLESSI. QUASIISOMORFISMI. OMOTOPIE ALGEBRICHE. MORFISMI OMOTOPI. EQUIVALENZE OMOTOPICHE. CONTRAZIONI. LEMMA DEL SERPENTE.

3. APPLICAZIONI ALGEBRICHE

INSIEMI E MODULI (CO)SIMPLICIALI. (CO)OMOLOGIA DEI GRUPPI. ALGEBRE DI LIE. (CO)OMOLOGIE DI CHEVALLEY-EILENBERG. ALGEBRE ASSOCIATIVE. (CO)OMOLOGIE DI HOCHSCHILD.

4. APPLICAZIONI GEOMETRICHE

(CO)CATENE SINGOLARI DI UNO SPAZIO TOPOLOGICO. (CO)OMOLOGIE SINGOLARI. OMOTOPIE GEOMETRICHE. MAPPE OMOTOPE. RETRATTI DI DEFORMAZIONE E SPAZI CONTRAIBILI. SEQUENZA DI MAYER-VIETORIS. PRODOTTO CUP. COOMOLOGIE DI DE RHAM DI UN APERTO DI R^N.
Metodi Didattici
LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE COME “COMPITI A CASA”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO.
Verifica dell'apprendimento
LA VERIFICA FINALE HA LO SCOPO DI ACCERTARE L’APPRENDIMENTO DELLA TEORIA ILLUSTRATA DURANTE L’INSEGNAMENTO E DELLE SUE APPLICAZIONI, LA COMPRENSIONE DEL SUO RUOLO NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA, NONCHÉ LE CAPACITÀ, DA PARTE DELLO STUDENTE, DI APPLICARLA PER LA RISOLUZIONE DI SEMPLICI ESERCIZI.

LO STUDENTE PUO’ SOSTENERE L’ESAME IN UNA A SCELTA DELLE DUE MODALITA’ QUI DESCRITTE:

MODALITA’ D’ESAME 1:

LO STUDENTE RISOLVE E CONSEGNA I COMPITI A CASA DURANTE IL CORSO. DOPO IL CORSO, ED ENTRO L’ANNO ACCADEMICO IN CUI SI È SVOLTO IL CORSO, TIENE UN SEMINARIO SU UN ARGOMENTO DI APPROFONDIMENTO CONCORDATO CON IL DOCENTE.

NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, I COMPITI A CASA PESERANNO PER IL 50% E IL SEMINARIO PER IL RESTANTE 50%.

MODALITA’ D’ESAME 2:

UN’UNICA PROVA ORALE TRADIZIONALE SUGLI ARGOMENTI TRATTATI A LEZIONE.

LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
DISPENSE REDATTE DAL DOCENTE.

PER APPROFONDIMENTI:

ASPETTI ALGEBRICI

C. A. WEIBEL, AN INTRODUCTION TO HOMOLOGICAL ALGEBRA, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS.

ASPETTI GEOMETRICI

J. M. LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS, GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER.
Altre Informazioni
PAGINA WEB DEL CORSO:

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EMAIL: LVITAGLIANO@UNISA.IT
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