GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Matematica GEOMETRIA DIFFERENZIALE

0522200008
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2020/2021

ANNO CORSO 2
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
Obiettivi
IL CORSO SI CONCENTRA SULLA GEOMETRIA RIEMANNIANA CHE È UNA BRANCA DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE CHE STUDIA UN OGGETTO MATEMATICO – DETTO “VARIETÀ RIEMANNIANA” – CHE MODELLIZZA L’IDEA DI “SPAZIO CURVO” DI DIMENSIONE ARBITRARIA.
PIÙ PRECISAMENTE, UNA VARIETÀ RIEMANNIANA È UNA VARIETÀ DIFFERENZIABILE MUNITA DI UNA STRUTTURA AGGIUNTIVA, DETTA METRICA RIEMANNIANA, CHE CONSISTE IN UN PRODOTTO INTERNO SULLO SPAZIO VETTORIALE TANGENTE IN CIASCUN PUNTO DELLA VARIETÀ. TALE PRODOTTO INTERNO VARIA DIFFERENZIABILMENTE AL VARIARE DEL PUNTO. LA METRICA RIEMANNIANA CONSENTE DI DEFINIRE SULLA VARIETÀ MOLTE DELLE USUALI NOZIONI GEOMETRICHE, QUALI ANGOLI, DISTANZE, VOLUMI, CAMMINI PIU' CORTI TRA DUE PUNTI (DETTI GEODETICI). MA SOPRATTUTTO SI DEFINISCONO CONCETTI PROPRI DEGLI SPAZI CURVI, QUALI QUELLA DI CURVATURA E DI TENSORE METRICO.

GLI OBIETTIVI PRINCIPALI DELL’INSEGNAMENTO “GEOMETRIA RIEMANNIANA” SONO DESCRITTI COME SEGUE.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE.

SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È METTERE IN GRADO GLI STUDENTI DI COMPRENDERE IL LINGUAGGIO, LE TECNICHE ED I CONTENUTI PRINCIPALI DELLA GEOMETRIA RIEMANNIANA E DELLE TEMATICHE CORRELATE.
LO STRUMENTO DIDATTICO PRIVILEGIATO PER IL RAGGIUNGIMENTO DI TALI OBIETTIVI SONO LE LEZIONI FRONTALI, DURANTE LE QUALI VERRANNO SVILUPPATE LE VARIE TEMATICHE DEL CORSO, MEDIANTE L’INTRODUZIONE DI CONCETTI FONDAMENTALI E LO SVILUPPO DI UNA SERIE DI TEOREMI CON RELATIVE DIMOSTRAZIONI, AFFIANCATI DA ESEMPI SIGNIFICATIVI, ESERCIZI E APPLICAZIONI.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE.

LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI PRODURRE DIMOSTRAZIONI RIGOROSE DI RISULTATI CONCERNENTI O CORRELATI ALLE TEMATICHE AFFRONTATE (IDEALMENTE ANCHE PICCOLI COROLLARI DEI TEOREMI DIMOSTRATI NEL CORSO DELL’INSEGNAMENTO). LO STUDENTE DOVRÀ ANCHE SAPER APPLICARE LE NOZIONI FONDAMENTALI SU METRICHE RIEMANNIANE, GEODETICHE, ECC. ANCHE A CONTESTI DIVERSI, SOPRATTUTTO LA FISICA MATEMATICA, E L’ANALISI GLOBALE. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI STUDIARE LE PROPRIETÀ METRICHE DI UNA VARIETÀ RIEMANNIANA, INDIVIDUANDONE LE EQUAZIONI DELLE GEODETICHE E CALCOLANDO I TENSORI DI CURVATURA.
Prerequisiti
AVERE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI DELL’ANALISI, DELLA GEOMETRIA E DELL’ALGEBRA LINEARE GIÀ AFFRONTATI NELLA LAUREA TRIENNALE. AVERE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI DI VARIETÀ DIFFERENZIABILE, CAMPO VETTORIALE TANGENTE, K-FORMA DIFFERENZIALE AFFRONTATI IN UN INSEGNAMENTO BASE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, DI CUI QUESTO INSEGNAMENTO COSTITUISCE UN NATURALE APPROFONDIMENTO E PROSECUZIONE.
Contenuti
METRICHE RIEMANNIANE. ISOMETRIE. ESEMPI. CONNESSIONI. DERIVATA COVARIANTE LUNGO UNA CURVA. TRASPORTO PARALLELO. CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA. GEODETICHE. MAPPA ESPONENZIALE. LUNGHEZZA DI UNA CURVA. DISTANZA RIEMANNIANA. LE GEODETICHE SONO LE CURVE LOCALMENTE MINIMIZZANTI. CURVATURA RIEMANNIANA, SEZIONALE, DI RICCI E SCALARE. VARIETÀ DI EINSTEIN. SPAZI A CURVATURA COSTANTE. TEMPO PERMETTENDO E TENENDO CONTO DELL'INTERESSE DEGLI STUDENTI POTRANNO ESSERE TRATTATI ARGOMENTI PIÙ AVANZATI O AGGIUNTIVI COME IL TEOREMA DI HOPF-RINOW O LE METRICHE DI LORENTZ.
Metodi Didattici
LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE IN AULA O COME “HOMEWORK”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO.
Verifica dell'apprendimento
L’ESAME CONSISTE IN UNA PROVA ORALE, CHE HA COME OBIETTIVO QUELLO DI VERIFICARE IL LIVELLO DI RAGGIUNGIMENTO DEGLI OBIETTIVI FORMATIVI INDICATI IN PRECEDENZA.

NEL CORSO DELL’ESAME LO STUDENTE DEVE DIMOSTRARE DI AVER CAPITO ED ASSIMILATO GLI ARGOMENTI SVOLTI DURANTE LE LEZIONI E DI ESSERE IN GRADO DI SPIEGARE LE NOZIONI E LE DIMOSTRAZIONI APPRESE DURANTE IL CORSO. A TAL FINE È NECESSARIO CHE LO STUDENTE SCRIVA TUTTI I PASSAGGI CHE STA SEGUENDO PER ARRIVARE ALLA CONCLUSIONE DI UN RAGIONAMENTO. SARANNO VALUTATE INOLTRE LA CAPACITÀ ESPOSITIVA E LA CAPACITÀ DI METTERE IN RELAZIONE CONCETTI E CONOSCENZE.
Testi
IL TESTO DI RIFERIMENTO È
M. ABATE, F. TOVENA, GEOMETRIA DIFFERENZIALE. UNITEXT 54. LA MATEMATICA PER IL 3+2. SPRINGER, 2011.

UN UTILE TESTO DI CONSULTAZIONE È
J. LEE – RIEMANNIAN MANIFOLDS: AN INTRODUCTION TO CURVATURE, SPRINGER

TESTI DI APPROFONDIMENTO
M. DO CARMO – RIEMANNIAN GEOMETRY, BIRKAUSER
P. PETERSEN – RIEMANNIAN GEOMETRY – SPRINGER
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2021-06-28]