GEOMETRIA,ALGEBRA E LOGICA

Ingegneria Informatica GEOMETRIA,ALGEBRA E LOGICA

0612700114
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE ED ELETTRICA E MATEMATICA APPLICATA
CORSO DI LAUREA
INGEGNERIA INFORMATICA
2022/2023



OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2022
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
432LEZIONE
540ESERCITAZIONE


Obiettivi
L'INSEGNAMENTO PRESENTA GLI ELEMENTI DI BASE DELL'ALGEBRA LINEARE, DELLA GEOMETRIA E DELLA LOGICA MATEMATICA. GLI OBIETTIVI FORMATIVI DELL'INSEGNAMENTO CONSISTONO NELL'ACQUISIZIONE DEI RISULTATI E DELLE TECNICHE DIMOSTRATIVE, NONCHÉ NELLA CAPACITÀ DI UTILIZZARE I RELATIVI STRUMENTI DI CALCOLO.

CONOSCENZE E COMPRENSIONE.
MATRICI E SISTEMI LINEARI. SPAZI VETTORIALI ED EUCLIDEI. GEOMETRIA ANALITICA 2D E 3D. LOGICA DELLE PROPOSIZIONI E LOGICA DEI PREDICATI. STRUMENTI SOFTWARE PER L'ALGEBRA LINEARE.

APPLICAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLA COMPRENSIONE.
APPLICARE LE DEFINIZIONI, I TEOREMI E LE REGOLE STUDIATE ALLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI. USARE STRUTTURE E STRUMENTI DELL'ALGEBRA LINEARE PER LA GESTIONE DI PROBLEMI MATEMATICI. TRATTARE OGGETTI BI- E TRIDIMENSIONALI DAL PUNTO DI VISTA ALGEBRICO, GEOMETRICO E ANALITICO, ANCHE IN MANIERA COORDINATA. APPLICARE STRUTTURE E STRUMENTI DELLA LOGICA DELLE PROPOSIZIONI E DELLA LOGICA DEI PREDICATI.
Prerequisiti
PER IL PROFICUO RAGGIUNGIMENTO DEGLI OBIETTIVI PREFISSATI ALLO STUDENTE SONO RICHIESTE CONOSCENZE RELATIVE ALLA MATEMATICA DI BASE.
Contenuti
Unità didattica 1: LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 3/5/0)

•1 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): SINTASSI: OPERATORI FONDAMENTALI./Esercizi di conversione di frasi tra linguaggio naturale e proposizioni logiche. Verifica correttezza sintattica di frasi.

•2 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): SEMANTICA: TAVOLE DI VERITÀ, VALIDITÀ E CONSEGUENZA./Esercizi di valutazione di proposizioni e di verifica di correttezza di conseguenze logiche.

•3 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): CALCOLO DELLA DEDUZIONE NATURALE: TEOREMI DI DEDUZIONE, CORRETTEZZA E COMPLETEZZA, SISTEMI FORMALI./Esercizi di deduzione logica.

•4 (2 ORE Esercitazione): Esercizi sulla logica proposizionale.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. connettivo logico, and, or, xor, condizionale, bicondizionale, conseguenza logica, deduzione, funzione di valutazione, e della relativa sintassi e delle priorità.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere corrispondenza tra connettivi del linguaggio naturale e connettivi logici. Riconoscere la correttezza sintattica di una frase. Costruire l’albero sintattico di una proposizione. Calcolare il valore di verità di una proposizione. Riconoscere la correttezza di una deduzione. Calcolare una deduzione.

Unità didattica 2: INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 1/3/0)

•5 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Algebra degli insiemi. Algebre di Boole./Esercizi su rappresentazioni di insiemi.

•6 (2 ORE Esercitazione): Esercizi su operazioni tra insiemi, sia numerici che simbolici.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. insieme, intersezione, unione, complemento, e delle relative proprietà.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Saper descrivere un insieme in vari modi. Saper riconoscere l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Sapere effettuare un’operazione insiemistica.

Unità didattica 3: LOGICA DEI PREDICATI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/2/0)

•7 (2 ORE Lezione): LINGUAGGI PREDICATIVI: ALFABETO, TERMINI E FORMULE, VARIABILI LIBERE E VINCOLATE, QUANTIFICATORI E DIMOSTRAZIONI.

•8 (2 ORE Esercitazione): Esercizi sulla gestione dei quantificatori: trasformazione di una proposizione con un quantificatore in una proposizione equivalente con l’uso dell’altro quantificatore, negazione di una proposizione con quantificatori.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. quantificatore universale, quantificatore esistenziale, e delle relative proprietà.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Saper interpretare e gestire una frase con quantificatori. Saper dimostrare la falsità di una proposizione attraverso controesempi.

Unità didattica 4: STRUTTURE ALGEBRICHE
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 1/1/0)

•9 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Definizioni generali: operazioni e proprietà. Gruppi. Anelli. Campi. / Esempi e controesempi delle varie strutture algebriche.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione dei termini: operazione, gruppo, anello, campo, e delle relative proprietà.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere un’operazione, una proprietà di cui un’operazione gode o non gode, riconoscere il tipo di struttura algebrica.

Unità didattica 5: MATRICI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/4/0)

•10 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Definizioni e proprietà. Matrici a scalini e a scalini ridotta. / Esempi e controesempi, esercizi di riduzione di una matrice a scalini e a scalini ridotta.

•11 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Sviluppo di determinanti: teorema di Laplace. Rango di una matrice. Teorema degli orlati. Inversa di una matrice. / Calcolo di determinanti, rango e inversa di una matrice.

•12 (2 ORE Esercitazione): Esercizi sulle matrici. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. matrice (con tutti i casi particolari: matrice triangolare superiore, matrice a scalini, …), determinante, rango, orlato, minore, inversa, pivot, trasposta, aggiunta. Comprensione delle notazioni usuali e del loro significato (ad es. significato dei pedici).
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere una tipologia di matrice. Calcolare il determinante e il rango di una matrice con vari metodi. Utilizzare l’algoritmo di Gauss per la riduzione di una matrice in forma a scalini o a scalini ridotta.

Unità didattica 6: SISTEMI LINEARI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/6/0)

•13 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Sistema di equazioni lineari: definizione, matrici associate, compatibilità e non, numero di soluzioni. / Esercizi di risoluzione di sistemi lineari attraverso il metodo di eliminazione di Gauss.

•14 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. / Esercizi di risoluzione di sistemi lineari attraverso il metodo di Cramer, anche generalizzato al caso di sistemi rettangolari.

•15 (2 ORE Esercitazione): Esercizi sui sistemi lineari numerici. Discussione dei sistemi lineari con parametro. Calcolo di una base delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

•16 (2 ORE Esercitazione): Esercizi di ricapitolazione su matrici e sistemi lineari.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. sistema lineare compatibile, incompatibile, soluzione, …. Comprensione delle notazioni usuali (scalari e matriciali) e del loro significato (ad es. capacità di distinguere in base al contesto tra l’uso della lettera ‘x’ come variabile scalare o come variabile vettoriale).
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere la compatibilità e il numero di soluzioni di un sistema lineare. Calcolare le soluzioni di un sistema lineare con il metodo di Gauss o con il metodo di Cramer (generalizzato). Discutere la compatibilità e le soluzioni di un sistema parametrico.

Unità didattica 7: SPAZI VETTORIALI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 3/7/0)

•17 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): La struttura di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. / Esempi, controesempi e verifica delle condizioni di spazi e sottospazi vettoriali.

•18 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Dipendenza e indipendenza lineare. Generatori. Sottospazio generato. Basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Caratterizzazioni lineare dipendenza/indipendenza di vettori numerici. Condizione sufficiente per le basi. / Esercizi su vettori linearmente dipendenti/indipendenti e su vettori generatori.

•19 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Lemma di Steinitz. Teorema della base. Rappresentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio. Intersezione e somma di sottospazi, somma diretta. Relazione di Grassmann. / Esercizi su rappresentazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali, basi e dimensione.

•20 (2 ORE Esercitazione): Esercizi vari sugli spazi vettoriali numerici e parametrici. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

•21 (2 ORE Esercitazione): Esercizi di ricapitolazione su spazi vettoriali.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. spazio e sottospazio vettoriale, base, dimensione, rappresentazione cartesiana, rappresentazione parametrica. Comprensione delle notazioni usuali (scalari e vettoriali) e del loro significato.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere se un insieme è uno spazio/sottospazio vettoriale. Rappresentare un sottospazio vettoriale numerico in forma cartesiana e in forma parametrica. Calcolare la dimensione e individuare una base di uno spazio vettoriale. Riconoscere se un insieme è base o meno di uno spazio vettoriale dato. Discutere dimensione e base di uno spazio vettoriale nel caso in cui la rappresentazione vari al variare di un parametro.

Unità didattica 8: SPAZI EUCLIDEI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/4/0)

•22 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Definizione di prodotto scalare. Definizione di spazio vettoriale euclideo reale. Definizione di norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di angolo. / Esempi e controesempi di prodotto scalare. Calcolo di norme di vettori e angoli tra vettori.

•23 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Definizione di vettori ortogonali e sottospazio ortogonale. Basi ortonormali. Componenti in una base ortonormale. Proiezioni ortogonali. Teorema di Gram-Schmidt. / Esercizi su sottospazi ortogonali (calcolo di rappresentazioni, dimensione, base, appartenenza di un vettore).

•24 (2 ORE Esercitazione): Calcolo di basi ortonormali attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Calcolo di proiezioni e componenti ortogonali di un vettore su un altro. Calcolo di componenti di un vettore in una base ortonormale. Ulteriori esercizi su sottospazi ortogonali. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. spazio euclideo, prodotto scalare, norma, sottospazio ortogonale, base ortonormale, … Comprensione delle notazioni usuali (scalari e vettoriali) e del loro significato.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere un prodotto scalare. Calcolare un sottospazio ortogonale a uno dato (rappresentazione, dimensione e base). Riconoscere l’appartenenza di un vettore al sottospazio ortogonale a uno dato. Calcolare la norma di un vettore. Calcolare l’angolo tra due vettori. Riconosce e calcolare una base ortonormale e le componenti di un vettore rispetto a tale base.

Unità didattica 9: APPLICAZIONI LINEARI
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/4/0)

•25 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Definizione di applicazione lineare (omomorfismo), endo-, epi-, mono-morfismo. Nucleo. / Esempi e controesempi di applicazioni lineari. Calcolo del nucleo di un omomorfismo (rappresentazione cartesiana e parametrica, dimensione, base, appartenenza di vettori).

•26 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Immagine e suoi generatori. Teorema della dimensione. Caratterizzazione di monomorfismi ed epimorfismi. Rappresentazione matriciale. / Calcolo dell’immagine di un omomorfismo (rappresentazione cartesiana e parametrica, dimensione, base, appartenenza di vettori). Verifica dell’iniettività e della suriettività di un omomorfismo.

•27 (2 ORE Esercitazione): Esercizi vari su omomorfismi. Discussione di omomorfismi con leggi dipendenti da un parametro. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. omo-, epi-, mono-, iso-morfismo, nucleo, immagine, … Comprensione delle notazioni usuali (leggi e matrici) e del loro significato.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere un omomorfismo. Gestire le diverse rappresentazioni di un omomorfismo (legge e matrice). Calcolare nucleo e immagine (rappresentazioni, dimensione e base, appartenenza di un vettore).

Unità didattica 10: DIAGONALIZZAZIONE
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/6/0)

•28 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Autovalori e autovettori: definizioni, polinomio ed equazione caratteristici. Autospazi e relative proprietà. Molteplicità algebrica e geometrica. / Esercizi su calcolo autovalori, molteplicità, autospazi.

•29 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Diagonalizzazione semplice e ortogonale: definizioni per matrici ed endomorfismi. Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione. Teorema spettrale. / Verifica diagonalizzabilità semplice e ortogonale. Calcolo delle matrici di diagonalizzazione semplice e ortogonale.

•30 (2 ORE Esercitazione): Esercizi vari su diagonalizzazione. Discussione di diagonalizzabilità ortogonale in presenza di un parametro. Impiego di strumenti software per l’algebra lineare.

•31 (2 ORE Esercitazione): Esercizi di ricapitolazione su omomorfismi e diagonalizzazione.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. autovalore, autovettore, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere se un vettore è un autovettore di una matrice. Calcolare autospazi (rappresentazioni, dimensione e base, appartenenza di un vettore). Riconoscere se una matrice è diagonalizzabile o ortogonalmente diagonalizzabile. Calcolare le matrici di diagonalizzazione semplice o ortogonale e le corrispondenti matrici diagonali generate.


Unità didattica 11: GEOMETRIA ANALITICA
(ORE LEZIONE/ESERCITAZIONE/LABORATORIO 2/8/0)

•32 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Equazione della retta (algebrica, parametrica, simmetrica). Parallelismo e ortogonalità tra rette. Coniche: definizione, classificazione e forma canonica. / Esercizi su rappresentazioni di rette nel piano (costruzione, appartenenza, conversione tra diverse rappresentazioni).

•33 (2 ORE Esercitazione): Costruzione di applicazioni lineari nel piano (rotazioni, riflessioni, dilatazioni e contrazioni, deformazioni). Classificazione e riduzione a forma canonica di coniche. Impiego di strumenti software per la geometria analitica.

•34 (1 ORE Lezione / 1 ORE Esercitazione): Sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Equazione del piano (parametrica e cartesiana). Equazione della retta (parametrica, cartesiana, simmetrica). Fasci e stelle di piani. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità nello spazio. Rette sghembe. / Esercizi su rappresentazioni di rette e piani nello spazio (costruzione, appartenenza, conversione tra diverse rappresentazioni).

•35 (2 ORE Esercitazione): Esercizi vari su rette e piani nello spazio. Impiego di strumenti software per la geometria analitica.

•36 (2 ORE Esercitazione): Esercizi di ricapitolazione su geometria analitica.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Comprensione di tutti i termini utilizzati durante le ore di lezione, ad es. rette, piani, punti, equazioni. Comprensione delle notazioni usuali (scalari e vettoriali) e del loro significato.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE: Riconoscere punti, rette e coniche nel piano. Riconoscere punti, rette e piani nello spazio. Effettuare il passaggio tra rappresentazioni diverse di uno stesso oggetto geometrico. Riconoscere la posizione reciproca di oggetti geometrici.


TOTALE ORE: 22 ORE DI LEZIONE E 50 DI ESERCITAZIONI
Metodi Didattici
L'INSEGNAMENTO CONTEMPLA LEZIONI TEORICHE, RIVOLTE AD AFFRONTARE TUTTI I CONTENUTI DEL CORSO (CIRCA 20 ORE), ED ESERCITAZIONI IN AULA, DEDICATE A FORNIRE AGLI STUDENTI I PRINCIPALI METODI DI RISOLUZIONE DI PROBLEMI RELATIVI AI CONTENUTI DEL CORSO (CIRCA 50 ORE).
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE: LA CONOSCENZA E LA COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI AL CORSO; LA PADRONANZA DEL LINGUAGGIO MATEMATICO NELLA PROVA SCRITTA ED ORALE; LA CAPACITÀ DI DIMOSTRARE TEOREMI; LA CAPACITÀ DI RISOLVERE ESERCIZI; LA CAPACITÀ DI INDIVIDUARE ED APPLICARE I METODI PIÙ APPROPRIATI ED EFFICIENTI NELLA RISOLUZIONE DI UN ESERCIZIO; LA CAPACITÀ DI APPLICARE LE CONOSCENZE ACQUISITE NELLA RISOLUZIONE DI ESERCIZI NON PRESENTATI DURANTE IL CORSO.
IL RAGGIUNGIMENTO DEGLI OBIETTIVI DELL'INSEGNAMENTO È CERTIFICATO MEDIANTE IL SUPERAMENTO DI UN ESAME CON VALUTAZIONE IN TRENTESIMI. LA PROVA D'ESAME CONSTA DI UNA PROVA SCRITTA ED UN COLLOQUIO ORALE.
LA PROVA SCRITTA HA DI NORMA UNA DURATA NON INFERIORE A 120 MINUTI ED È FINALIZZATA A VERIFICARE LA CAPACITÀ DI APPLICARE CORRETTAMENTE LE CONOSCENZE TEORICHE E DI COMPRENDERE LE PROBLEMATICHE PROPOSTE. LA PROVA SCRITTA È PROPEDEUTICA ALLA PROVA ORALE E CONSISTE NELLA RISOLUZIONE DI ESERCIZI TIPICI PRESENTATI AL CORSO E NELLA VALUTAZIONE SI TERRÀ CONTO DELLA MODALITÀ DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI PROPOSTI E DELLA CHIAREZZA E COMPLETEZZA ESPOSITIVA. NEL CASO DI SUPERAMENTO DELLA PROVA SCRITTA, AD ESSA È ATTRIBUITA UNA VALUTAZIONE IN FASCE QUALITATIVE. LA PROVA SI SVOLGE ANTERIORMENTE ALLA PROVA ORALE E SI CONSIDERA SUPERATA CON IL RAGGIUNGIMENTO DEL PUNTEGGIO MINIMO PRESTABILITO.
LA PROVA ORALE CONSISTE IN UN COLLOQUIO PREVALENTEMENTE TESO AD ACCERTARE IL GRADO DI CONOSCENZA DI TUTTI GLI ARGOMENTI OGGETTO DEL CORSO, E VERTE SU DEFINIZIONI, ENUNCIATI E DIMOSTRAZIONE DI TEOREMI, COMPRENSIONE DI RISOLUZIONE DI ESERCIZI.
IL VOTO FINALE, ESPRESSO IN TRENTESIMI CON EVENTUALE LODE, È DETERMINATO PARTENDO DA QUELLO CONSEGUITO NELLA PROVA SCRITTA (CHE HA UN PESO PREVALENTE) MODULANDOLO IN ECCESSO O IN DIFETTO SULLA BASE DEL COLLOQUIO ORALE.
OLTRE AI TESTI DI RIFERIMENTO, ULTERIORE MATERIALE DIDATTICO CON ESEMPI DI PROVE SCRITTE È REPERIBILE NELL'AREA DELLA PIATTAFORMA ELEARNING DI ATENEO DEDICATA AL CORSO.
Testi
G. ALBANO, LA PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA: TRA TEORIA E PRATICA, MAGGIOLI (2013).
G. ALBANO, C. D'APICE, S. SALERNO, ALGEBRA LINEARE, CUES (2002).
G. LOLLI, LOGICA MATEMATICA, DISPENSE ON LINE HTTP://HOMEPAGE.SNS.IT/LOLLI/DISPENSE07.HTM.
D. PALLADINO. CORSO DI LOGICA. INTRODUZIONE AL CALCOLO DEI PREDICATI. ED. CAROCCI (2021).

MATERIALE DIDATTICO INTEGRATIVO SARÀ DISPONIBILE NELLA SEZIONE DEDICATA DELL'INSEGNAMENTO ALL'INTERNO DELLA PIATTAFORMA E-LEARNING DI ATENEO (HTTP://ELEARNING.UNISA.IT) ACCESSIBILE AGLI STUDENTI DEL CORSO TRAMITE LE CREDENZIALI UNICHE DI ATENEO.
Altre Informazioni
L'INSEGNAMENTO E' EROGATO IN ITALIANO
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2023-01-23]